[ссылки] [литература] [проекты] [программы] [методические указания] [монографии и статьи] [вопросы и ответы] [школы] [учебники] [новости]
ENG  |   Карта сайта
Информация
Проект преследует цель популяризации идей применения природных механизмов функционирования для решения задач прогнозирования, оптимизации и поддержки принятия решений

Cписок рассылки
Открыть в новом окне

  1. Введение
  2. Генетические алгоритмы (1)
  3. Генетические алгоритмы (2)
  4. Генетические алгоритмы (3)
  5. Тренды
  6. Полиномиальные тренды
  7. Тригонометрические тренды
  8. Нейронные сети
  9. Метод наименьших квадратов
  10. Метод обратного распространения ошибки
  11. Множественная линейная модель
  12. Нестандартный выпуск. Анкета
  13. МЛМ. Пример расчета
  14. RBF-сеть
  15. Сеть встречного распространения
  16. Первая интерполяционная формула Ньютона
  17. МГУА (1)
  18. Вторая интерполяционная формула Ньютона
  19. Метод Брандона
  20. МГУА (2)
  21. Интерполяционные формулы Гаусса
  22. Интерполяционные формулы Стирлинга и Лагранжа
  23. МГУА (3)
  24. МГУА (4)
  25. Предварительная обработка данных (1)
  26. Предварительная обработка данных (2)
  27. Предварительная обработка данных (3)
  28. Box-counting
  29. Гетероскедастичность
  30. Введение в нечеткую логику
  31. Обобщённый метод наименьших квадратов
  32. Прогнозирование с помощью функций с гибкой структурой
  33. Автокорреляция
  34. Дистрибутивно-лаговые модели (1)
  35. Дистрибутивно-лаговые модели (2)
  36. Дистрибутивно-лаговые модели (3)
  37. Моделирование данных при помощи кривых для восстановления пробелов в таблицах (1)
  38. Нестандартный выпуск. Анонс книги Цейтлина Н.А."Опыт аналитического статистика"
  39. Алгоритм ZET
  40. Алгоритм ZetBraid
  41. Метод эволюционной кластеризации
  42. Эволюционный метод восстановления пропусков в данных
  43. Алгоритмы кластеризации класса FOREL

ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА

(Значительная часть материала заимствована из книги  Демидовича Б.П., Марона И.А. по выч. матем-ке)

     1. Описание задачи. Пусть для функции  заданы значения  для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где  - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином  сте­пени не выше , принимающий в точках  значения

                                                           ,.                                             (1)

Условия (1) эквивалентны тому, что   при .

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

.             (2)

Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома  не выше , во-вторых,

   и    ,  .

Заметим, что при  формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции :

.

    Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую пере­менную  по формуле    ;   тогда получим:

        ,               (3)

где  представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки  . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона.

     Формулу (3) выгодно использовать для интерполирования функции  в окрестности начального значения , где  мало по абсолютной величине.

     Если дана неограниченная таблица значений функции , то число  в интер­поляционной формуле (3) может быть любым. Практически в этом случае число  вы­бирают так, чтобы разность  была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение  можно принимать любое табличное значение аргумента .

    Если таблица значений функции конечна, то число  ограничено, а именно:  не может быть больше числа значений  функции , уменьшенного на единицу.

   Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значе­ния разностей функции  находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

     2. Пример.  Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

-3

-3,685

-4,445

-5,285

-6,207

-7,218

-8,321

            Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем  . Приняв , , будем иметь:

,

или    ,

где   . Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

                                                                                       Таблица 1

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

-3

-3,685

-4,445

-5,285

-6,207

-7,218

-8,321

0,685

0,76

0,84

0,922

1,011

1,103

-0,075

-0,08

-0,082

-0,089

-0,092

0,005

0,002

0,007

0,003

 

Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например, . Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например,  .

ã Виталий Снитюк, 2002

РЕКЛАМА:

Администрация сайта: ()
Используются технологии uCoz