Интерполяционные формулы с центральными разностями

При построении интерполяционных формул Ньютона используются лишь зна­чения функции, лежащие по одну сторону от выбранного начального значения, т. е. эти формулы носят односторонний характер.

Таблица 1

Во многих случаях оказывают-ся полезными интерполяционные формулы, со­держащие как последующие, так и предшествующие значения функции по от­ношению к её начальному значению. Наиболее употребительными из них явля­ются те, которые содержат разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной функции, соответствующей началь­ным значениям   и , или в строках, непосредственно примыкающих к ней. Эти разности , , ,… называются центральными разностями (таб­лица 1), где  (), , ,  и т. д.

Соответствующие интерполяционные формулы носят название интерполяцион­ных формул с центральными разностями. К их числу относятся формулы Га­усса, Стирлинга и Бесселя.

      Более детальное рассмотрение интерполяционных формул показывает, что при  целесообразно применять формулу Стирлинга, а при  - формулу Бесселя.

Интерполяционные формулы Гаусса

      Описание задачи.  Пусть имеется  равноотстоящих узлов интерполирования

где    , и для функции  известны её значения в этих узлах

   ().

Требуется построить полином  степени не выше  такой, что

 при  .

Будем искать этот полином в виде

.                                                                                                                Вводя обобщённые степени, получим:

                         .                (1)

Учитывая, что  для всех соответствующих значений  и  полу­чим

, далее введя переменную  и сделав соответствующую замену в формуле (1), получим первую интерполяционную формулу Гаусса:

                                  ,                    (2)

где  и .

Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные разности

, , ,  , , , …

Аналогично можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса, со­держащую центральные разности

, , ,  , , , …

Вторая интерполяционная формула Гаусса имеет вид

                                      ,                        (3)

 где .

      Пример.   Приняв шаг , построить интерполяционный полином Га­усса для функции , заданной таблицей

      Решение. Составляем таблицу разностей (см. табл. 2).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (2) по­лагаем  . Приняв , , будем иметь:

по первой интерполяционной формуле Гаусса (2)

или

по второй интерполяционной формуле Гаусса (3)

или

где

.

Это и есть искомые интерполяционные полиномы Гаусса.

Таблица 2