Метод группового учета аргументов

      Автором метода группового учёта аргументов (МГУА) есть Алексей Григорье­вич Ивахненко. Применение МГУА нашёл в самых различных областях знания, ис­пользующих структурную, параметрическую идентификацию и прогнозирование. Ра­нее считалось, что точность модели можно повысить исключительно за счёт учёта большего количества факторов и их композиции. Но такой подход требовал всё боль­шей и большей ретроспективы (периода рассмотрения статистических данных), что чаще всего было невозможным. Да и количество структурных элементов модели было ограниченным, что вследствие теоремы Геделя о неполноте (одна из ее формулировок: “Для любой системы суще­ствует теорема, которая не может быть доказана с помощью аксиом этой системы”) сви­детельствовало о существовании такой зависимости, таблично заданной, которая не могла бы быть аппроксимирована композицией данного набора элементов.

      Автор МГУА предложил использовать принцип внешнего дополнения. Базиру­ясь на теореме Вейерштрасса о том, что любую непрерывную функцию можно как угодно точно представить полиномом, он предложил следующую схему.

Пусть в качестве исходных данных выбрана матрица , где  и  - векторы-столбцы размерностью .  - входные факторы,  - выходная характеристика. Задача заключается в идентифика­ции зависимости

                                                                                                                  (1)

 полиномом Колмогорова-Габора

                                                                   (2)

Известно, что при увеличении степени этого полинома точность приближения им функции  возрастает, а потом убывает. В момент, когда точность максимальна, процесс усложнения полинома заканчивается. Количество точек экспериментов может быть значи­тельно меньше количества членов полинома.

        На первом этапе выбирается опорная функция. Чаще используются зависимости вида:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

      Для первой функции необходимы данные хотя бы трёх экспериментов, для (2) – 4, для (3) – 5, для (4) – 7. Это вызвано тем, что для определения коэффициентов будет исполь­зован метод наименьших квадратов (см. архив рассылки). Обозначим , где  - одна из указан­ных зависимостей, или, возможно,  подобная.

       Следующим шагом будет определение МНК коэффициентов уравнений (2), , .. , , , .. , , где . Объяснить, почему  такое, можно исходя из следующих соображений. Всевозможные пары индексов составляют матрицу (табл. 1). Те пары, которые мы ис­пользуем, образуют верхнедиагональную матрицу.

Таблица 1

Количество элементов в ней .

       После того, как все зависимости ,  идентифицированы, по внешнему критерию отбирают лучшие. Определение их коли­чества относят на свободу выбора, обычно 40-60%. Те зависимости, которые остались, перенумеровываем и получаем , где  - количество отобранных зависимо­стей. Первый шаг селекции закончен.

        На следующем шаге с помощью МНК определяем коэффициенты таких зависи­мостей:

                          , , .. , , .                  (3)

Дальнейшая процедура аналогична вышеизложенной. Если значение внешнего крите­рия улучшается, то селекция продолжается, в противном случае модель оптимальной сложности получена.

            Опишем внешние критерии, которые базируются на принципе внешнего допол­нения. Этот принцип после работ А.Н. Тихонова, В.И. Иванова получил название принципа регуляризации. В зависимости от типа задачи А.Г. Ивахненко предложил рассматривать такие критерии: регулярности, несмещённости и баланса переменных. Известны два критерия регулярности:

-        минимум среднеквадратической ошибки на новых точках отдельной провероч­ной последовательности;

-        максимум коэффициента корреляции на тех же точках.

Рассмотрим процедуру их применения. В качестве исходных данных имеем выделен­ную часть таблицы 2.

Таблица 2

Разделим её на две части (примерно 60% на 40%) .  - количество точек экспе­риментов в первой (обучающей) выборке,  - во второй (контрольной).  должно быть меньше числа  слагаемых в опорной функции . На элементах обучающей выборки находим коэффициенты зависимостей (2). Так, например, . Далее рас­сматриваем значения ошибок на элементах контрольной выборки

                                                  , ,                                           (4)

упорядочиваем  по возрастанию ошибок  и оставляем левые  функций. После перенумерации они составят значения функций следующего ряда селекции. Условия окончания итераций не “канонизированы” и могут быть, например, такими:

-        среднее значение ошибки  для следующего ряда селекции больше значения ошибки для предыдущего ряда;

-        минимальное значение ошибки следующего ряда больше минимального значе­ния  ошибки предыдущего ряда;

-        максимальное значение ошибки следующего ряда больше максимального зна­чения  ошибки предыдущего ряда;

-        модуль отклонения ошибок следующего и предыдущего ряда меньше некото­рого числа .