Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 1)

Дистрибутивно – лаговые модели (Часть 1)

В экономике очень часто используется понятие временного лага. Часто исследуемая выходная величина изменяется не сразу после изменения значения влияющего фактора, а через некоторое время – временной лаг.

Дистрибутивно – лаговые модели (ДЛМ) – это регресионные модели с присутствующим временным лагом, т.е. выходная характеристика хависит также и от значений входного фактора в предыдущие периоды.

Общий вид бесконечной ДЛМ:

ДЛМ с конечным лагом в k периодов:

где  - текущий период,

 - суммарное значение влияющего фактора в  период,

 - коэффициенты влияния і-го временного лага,  - погрешность,

 - короткосрочный или влияющий мультипликатор,

 - долгосрочный мультипликатор.

Тогда  - показывает часть общего влияния лага на i-томпромежутке времени.

Приведём пример конечной ДЛМ.

Работнику повысили зарплату на 600 грн. в год, причем повышение сохранается и на следующие годы. Допустим, что в первый год расходы работника увеличелись на 240 грн., во второй – ещё на 180 и в третий на 120. Тогда ДЛМ влияния разового повышения зарплаты на размер расходов имеет вид:

,

где  - размер дохода,  - доход.

Учитывая важность использования ДЛМ в экономике и в других отраслях жизнедеятельности человека, является востребованной адекватная оценка параметров такой модели.

Имеем задачу оценки параметров  и , как наиболее значимых.

1.      Последовательная оценка.

Допустим, что  - нестохастические, тогда имеем, что  также нестохастические, поэтому можно применить метод наименьших квадратов (МНК).

На этом основании Ф. Альт и Дж. Тинберген предложили алгоритм последовательной оценки параметров с помощью МНК: строим регрессию вида  и оцениваем параметры, далее -  и оцениваем параметры и так далее, пока коэффициенты станут незначимыми или изменят знак.

Беря во внимание проблемы мультиколинеарности и неопределённости максимальной длины лага даный метод не рекомендуется для использования на практике.

2.      Подход Койка.

Допустим, что коэффициенты  для модели с неопределённым лагом имеют одинаковый знак и изменяются по геометрической прогрессии, тогда , причём  - темп убывания, и модель становится конечной, т.е. .

Влияние лага на со временем убывает и модель можно записать, как

    (1)

Далее в модель вводиться задержка на один период и умножается на , тогда имеем

    (2)

Отнимая (2) от (1) получим

или 

,     (3)

где .

Зависимость (3) получила название преобразование Койка.

Отметим особенности преобразования Койка:

1)      замена бесконечного количества параметров на всего три: , которые необходимо оценить, и  соответственно исчезла проблема мультиколинеарности;

2)      модель из дистрибутивно-лаговой превратилась в авторегрессионную, так как остаётся независимая переменная .

3)      введение ещё одной стохастической переменной  порождает проблему серийной корреляции относительно . Для использования МНК все независимые переменные должны быть нестохастическими, либо не зависеть от погрешности , а  - серийно корреляционные. Для определения серийной корреляции используется h-тест Дарбина (будет показано в следующих выпусках).

На практике для определения скорости с которой  реагирует на изменение  применяют медианный и средний лаги.

1. Медианный лаг – это время необходимое для 50%-го изменения  при еденичном изменении . Для модели Койка медианный лаг равен

.

2. Средний лаг есть по сути взвешенным средним всех лагов модели и рассчитывается по формуле

.

Фактически, модель Койка является последовательной моделью, не имеющей четкого теоретического обоснования.

Предлагается две модификации этой модели.

1.      Модель адаптивных ожиданий.

Допустим, имеется модель

       (4)

где  - спрос на деньги,  - ожидаемая процентная ставка. Предлагается гипотеза формирования ожидания:

,

где  - коэффициент ожидания. Это и есть гипотеза адаптивных ожиданий, которая подразумевает, что будущие ожидания приспосабливаются к предыдущему опыту, т.е. учатся на своих ошибках.

Перепишем

             (5)

После подстановки (5) в (4) получим

 (6)

Задерживаем (6) на 1 период домножаем на  и вычитаем из (5), получим

,    (7)

где .         

Модель (7) описывает среднее изменение  в ответ на еденичное имзменение фактического значения .

Данная модель отображает подтверждаемые на практике соображения о том, что дальнейшее обучение происходит на базе прошлого опыта, и чем старее опыт тем его влияние меньше.

2.      Модель частичных приспосабливаний. (предложена М. Нерлоу)

Допустим, имеется модель

       (8)

где  - ожидаемый капитал,  - выпуск продукции. Предлагается гипотеза частичных приспосабливаний:

,

где  - коэффициент приспосабливания,  - фактическое изменение,  - желаемое изменение.

Модель отображает, что фактическое изменение капитала за период  является частью  желаемого изменения.

Перепишем

             (9)

После подстановки (8) в (9) получим

Это и есть модель частичных приспосабливаний – описывает короткосрочную функцию спроса на запас капитала.

Данная модель также является авторегрессивной, но имеет простую погрешность .

Таким образом рассмотренные модели Койка, адаптивных ожиданий и частичных приспосабливаний являются авторегрессивными и требуют отдельной подробной оценки своих параметров. Продолжение в следующих выпусках.